如图,已知直线l的函数表达式为y=−43x+8,且l与x轴,y轴分别交于A,B两点,动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,设点P、Q移动的时间为t秒.(1)当t为何值时,△APQ是以PQ为底的等腰三角形?(2)求出点P、Q的坐标;(用含t的式子表达)(3)当t为何值时,△APQ的面积是△ABO面积的15?

问题描述:

如图,已知直线l的函数表达式为y=−

4
3
x+8,且l与x轴,y轴分别交于A,B两点,动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,设点P、Q移动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,△APQ是以PQ为底的等腰三角形?
(2)求出点P、Q的坐标;(用含t的式子表达)
(3)当t为何值时,△APQ的面积是△ABO面积的
1
5

(1)当AQ=AP时,是以PQ为底的等腰三角形,
∵直线l的函数表达式为y=−

4
3
x+8,且l与x轴,y轴分别交于A,B两点,
∴A(6,0),B(0,8),
∴AB=10,
∴AQ=10-2t,AP=t
即10-2t=t,
t=
10
3
(秒),
t=
10
3
时,是以PQ为底的等腰三角形;
(2)过Q点分别向x轴,y轴引垂线,垂足分别是M,N,
∴NQ∥OA,QM∥OB,
∴△BNQ∽△QMA∽△BOA,
设Q(x,y)
∴BQ=2t,AP=t
而△BQN∽△QMA∽△BOA,
BQ
QN
AB
OA

QA
QM
AB
BO

2t
x
10
6

10−2t
y
10
8

x=
6
5
t
y=
4
5
(10−2t)

Q,P的坐标分别是[
6
5
t,
4
5
(10−2t)]
,(6-t,0);
(3)∵△APQ的面积=
1
2
AP×QM

△AOB的面积=
1
2
×6×8=24

1
2
4
5
(10−2t)=
1
5
×24

解得,t1=2,t2=3
∴当t1=2秒或,t2=3秒时,△APQ的面积是△ABO面积的
1
5

答案解析:(1)若△APQ是以PQ为底的等腰三角形,那么AQ=AP时,由解析式可得A(6,0),B(0,8),再利用勾股定理得AB=10,然后可以把AQ和AP用t表示,因此得到关于t的方程,解方程即可;
(2)如图,过Q点分别向x轴,y轴引垂线,垂足分别是M,N,设Q(x,y)由题意可知BQ=2t,AP=t,利用△BQN∽△QMA∽△BOA的对应边成比例就可以用t分别表示x、y,也就求出了点P、Q的坐标;
(3)根据(1)(2)知道,△APQ的面积=
1
2
AP×QM
,△AOB的面积=
1
2
×6×8=24
,因此可以得到关于t的方程,解方程即可解决问题.
考试点:一次函数综合题.

知识点:本题综合考查了一次函数与几何知识的应用,题中运用平行线的性质、直线的解析式以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键.