已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(I)求f(1),f(-1)的值;(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.

问题描述:

已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).
(I)求f(1),f(-1)的值;
(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.

(I)定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y),
∴令x=y=1,得f(1)=0;令x=y=-1,得f(-1)=0…6分
(Ⅱ)令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1),…9分
∵f(-1)=0,
∴f(-x)=-f(x),…12分
∴f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数…13分
答案解析:(I)依题意,x=y=1,可求得f(1),再令x=y=-1,可求得f(-1)的值;
(Ⅱ)利用赋值法(令y=-1)可得到f(-x)与f(x)的关系,从而可判断函数的奇偶性.
考试点:函数奇偶性的判断;函数的值.
知识点:本题考查函数的值与函数奇偶性的判断,着重考查赋值法的灵活运用,考查观察与分析问题、解决问题的能力,属于中档题.