已知函数f(x)=ln(ax-bx)(a>1>b>0). (1)求函数f(x)的定义域I; (2)判断函数f(x)在定义域I上的单调性,并说明理由; (3)当a,b满足什么关系时,f(x)在[1,+∞)上恒取正值.

问题描述:

已知函数f(x)=ln(ax-bx)(a>1>b>0).
(1)求函数f(x)的定义域I;
(2)判断函数f(x)在定义域I上的单调性,并说明理由;
(3)当a,b满足什么关系时,f(x)在[1,+∞)上恒取正值.

(1)f(x)=ln(ax-bx)(a>1>b>0)要意义,ax-bx>0(2分)
(只要学生得出答案,没有过程的,倒扣一分,用指数函数单调性或者直接解出)axbx>0⇒(

a
b
)x>1(a>1>b>0⇒
a
b
>1)
∴所求定义域为(0,+∞)(4分)
(2)函数在定义域上是单调递增函数(5分)
证明:∀x1,x2,0<x1<x2(6分)
∵a>1>b>0∴ax1ax2bx1bx2(7分)
ax1bx1ax2bx2
∴ln(ax1bx1)<ln(ax2bx2)
∴f(x1)<f(x2)
(9分)
所以原函数在定义域上是单调递增函数(10分)
(3)要使f(x)在[1,+∞)上恒取正值
须f(x)在[1,+∞)上的最小值大于0-(11分)
由(2)ymax=f(1)=ln(a-b)(12分)
∵ln(a-b)>0∴a-b>1
所以f(x)在[1,+∞)上恒取正值时有a-b>1.(14分)