如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,DC=2AB,AP=AD,PB⊥AC,BD⊥AC,E为PD的中点.求证:(1)AE∥平面PBC;(2)PD⊥平面ACE.

问题描述:

如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,DC=2AB,AP=AD,PB⊥AC,BD⊥AC,E为PD的中点.求证:

(1)AE∥平面PBC;
(2)PD⊥平面ACE.

证明:(1)取PC中点F,连接EF,BF,
∵E为PD中点,
∴EF∥DC且EF=

1
2
DC.
∵AB∥DC且AB=
1
2
DC

∴EF∥AB且EF=AB.
∴四边形ABFE为平行四边形.
∴AE∥BF.
∵AE⊄平面PBC,BF⊂平面PBC,
∴AE∥平面PBC.
(2)∵PB⊥AC,BD⊥AC,PB∩BD=B,
∴AC⊥平面PBD.
∵PD⊂平面PBD,
∴AC⊥PD.
∵AP=AD,E为PD的中点,
∴PD⊥AE.
∵AE∩AC=A,
∴PD⊥平面ACE.
答案解析:(1)要证明线面平行,需要构造线面平行的判定定理的条件--在面PBC内找到与AE平行的直线,取PC的中点F利用题目中的平行关系,可证得AE∥BF,即得AE∥BF.
(2)由PB⊥AC,BD⊥AC可得AC⊥平面PBD,利用线面垂直的定义得AC⊥PD,然后由AP=AD,E为PD的中点得到PD⊥AE,由线面垂直的判定定理可得PD⊥平面ACE.
考试点:直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
知识点:本题考查了线面平行和线面垂直的判断,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,是个中档题.