急!求幂级数在收敛区域内的和函数(n=1~∞)∑(n^2)*[x^(n-1)} x∈(-1,1) 需详细过程!
问题描述：
急!求幂级数在收敛区域内的和函数(n=1~∞)∑(n^2)*[x^(n-1)} x∈(-1,1) 需详细过程!
答
∑n^2*x^(n-1)＝(∑n*x^n)'
∑n*x^n＝x∑n*x^(n-1)＝x(∑x^n)'＝x(x/(1-x))'＝x/(1-x)^2
所以，∑n^2*x^(n-1)＝(x/(1-x)^2)'＝(1+x)/(1-x)^3
答
f(x)=∑n*[x^(n-1)}=(∑x^n)'=(x/(1--x))'=1/(1--x)^2
因此∑n*[x^n}=xf(x)=x/(1--x)^2，
所求级数为∑(n^2)*[x^(n-1)}=【∑n*[x^n}】’
=(x/(1--x)^2)'
=(1+x)/(1--x)^3
答
设f(x)=∑(n^2)*x^(n-1),f(0)=1.积分得：∫(0,x)f(x)dx=∑nx^n=x∑nx^(n-1)=xg(x) g(0）=1
对g(x)=∑nx^(n-1)积分得：∫(0,x)g(x)dx=∑x^n=x/(1-x),所以：g(x)=1/(1-x)^2
∫(0,x)f(x)dx=xg(x) =x/(1-x)^2,所以：f(x)=(x+1)/(1-x)^3