已知函数f（x）=1+lnxx，（x≥1）．（Ⅰ）试判断函数f（x）的单调性，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=
，（x≥1）．1+lnx x
（Ⅰ）试判断函数f（x）的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）若f（x）≥
恒成立，求实数k的取值范围． k x+1
答
（I）求导函数，可得f′(x)＝−lnxx2∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′（x）≤0∴f（x）在[1，+∞）上单调递减；（II）f（x）≥kx+1恒成立，即(x+1)(1+lnx)x≥k恒成立，记g（x）=(x+1)(1+lnx)x，则g′（x）=x−lnxx2再令h（x...
答案解析：（I）求导函数，确定导函数的符号，可得函数的单调性；
（II）f（x）≥
恒成立，即k x+1
≥k恒成立，确定左边对应函数的最小值，即可求得k的范围．(x+1)(1+lnx) x
考试点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
知识点：本题主要考查函数的单调性的判断和已知单调性求参数的取值范围．求函数的单调性时，要注意函数的定义域，而恒成立问题，一般转化为最值问题解决．