设a∈R,若函数y=e^ax+3x,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范围?

问题描述:

设a∈R,若函数y=e^ax+3x,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范围?

这个函数的导数为y'=ae^ax+3,依题意可知这个方程ae^ax+3=0有正根。
若a=0,此时的方程为3=0,不成立
所以,a不等于0
将x表示出来为x=1/aln(-3/a),对数函数首先要有意义,真数-3/a就要大于零,所以a一定是负数,那么ln(-3/a)就也得是负数,所以0综上,a

若函数y=e^ax+3x,x∈R有大于零的极值点,
则函数导数有大于零的根
导数=ae^ax+3=0
则x=[ln(-3/a)]/a
讨论 x>0
则第一种情况
a>0,且ln(-3/a)>0
则a>0,-3/a>1,
解得 无解
第二种情况
aa解得a

若函数f(x)=e^ax+3x,x∈R有大于零的极值点
可知存在x>0使f'(x)=0
求导
f'(x)=ae^(ax)+3
在x>0时f'(x)=0有解
显然a由e>1 a知0则(e^a)^x单调递减
又a则a*(e^a)^x单调递增
f'(x)单调递增
故存在x>0使f'(x)=0
只需f(0)a+3a