在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD为菱形,OA⊥平面ABCD,E为OA的中点,F为BC的中点,求证:(1)平面BDO⊥平面ACO;(2)EF∥平面OCD.
问题描述:
在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD为菱形,OA⊥平面ABCD,E为OA的中点,F为BC的中点,求证:
(1)平面BDO⊥平面ACO;
(2)EF∥平面OCD.
答
证明:(1)∵OA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以OA⊥BD,
∵ABCD是菱形,∴AC⊥BD,又OA∩AC=A,
∴BD⊥平面OAC,
又∵BD⊂平面OBD,∴平面BD0⊥平面ACO.
(2)取OD中点M,连接KM、CM,则ME∥AD,ME=
AD,1 2
∵ABCD是菱形,∴AD∥BC,AD=BC,
∵F为BC的中点,∴CF∥AD,CF=
AD,1 2
∴ME∥CF,ME=CF.
∴四边形EFCM是平行四边形,∴EF∥CM,
∴EF∥平面OCD
答案解析:(1)证明平面BDO⊥平面ACO,只需证明平面BD0内的直线BD,垂直平面ACO内的两条相交直线OA、AC即可;
(2)取OD中点M,连接KM、CM,证明EF平行平面OCD内的直线CM,即可证明EF∥平面OCD.
考试点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
知识点:本题考查平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.