设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1=1，b1=3，a2+b2=8，T3-S3=15（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{cn}满足a1cn+a2cn−1+…+an−1c2＝2n+1−n−2对任意n∈N*都成立；求证：数列{cn}是等比数列．
问题描述：
设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1=1，b1=3，a2+b2=8，T3-S3=15
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{cn}满足a1cn+a2cn−1+…+an−1c2＝2n+1−n−2对任意n∈N*都成立；求证：数列{cn}是等比数列．
答
（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q（q＞0）由题意得d+3q＝7q+q2−d＝5 解得d＝1q＝2，∴an=n，bn=3×2n-1；（Ⅱ）由cn+2cn-1+…+（n-1）c2+nc1=2n+1-n-2知cn-1+2cn-2+…+（n-2）c2+（n-1）c1=2n-（...
答案解析：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q（q＞0），列关于d与q的方程组求得d与q，即可求得{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）由cn+2cn-1+…+（n-1）c2+nc1=2n+1-n-2向下递推一项可得cn-1+2cn-2+…+（n-2）c2+（n-1）c1=2n-（n-1）-2（n≥2），两式相减即可求得cn=2n-1（n≥3），再验证n=1，2时的情况即可，符合则合，不符合则分段写．
考试点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比关系的确定．
知识点：本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查数列的求和，突出考查方程组思想、转化思想与分类讨论思想的综合运用，属于中档题．