设函数f(x)=lnx-2ax.(1)若函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线为直线l,且直线l与圆(x+1)2+y2=1相切,求a的值;(2)当a>0时,求函数f(x)的单调区间.
问题描述:
设函数f(x)=lnx-2ax.
(1)若函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线为直线l,且直线l与圆(x+1)2+y2=1相切,求a的值;
(2)当a>0时,求函数f(x)的单调区间.
答
(1)依题意有,f′(x)=1x-2a.因此过(1,f(1))点的直线的斜率为1-2a,又f(1)=-2a,所以,过(1,f(1))点的直线方程为y+2a=(1-2a)(x-1).即(2a-1)x+y+1=0又已知圆的圆心为(-1,0),半径为1,依题...
答案解析:(1)根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=1处的导数,从而求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程,再根据直线l与圆(x+1)2+y2=1相切得到d=r,建立等式关系,解之即可求出a的值;(2)先确定函数的定义域然后求导数fˊ(x),在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,即可求出函数f(x)的单调区间.
考试点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;直线与圆的位置关系.
知识点:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及函数单调性和直线圆的位置关系的判定,同时考查了转化与划归的思想,计算的能力,属于基础题.