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两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则1a2+1b2的最小值为（　　）A. 19B. 49C. 1D. 3

分类: 作业答案 • 2022-02-19 18:41:59
问题描述：

两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则

1
a2
+
1
b2
的最小值为（　　）
A.
1
9

B.
4
9

C. 1
D. 3

答

由题意可得 两圆相外切，两圆的标准方程分别为 （x+a）2+y2=4，x2+（y-2b）2=1，
圆心分别为（-a，0），（0，2b），半径分别为 2和1，故有

a2+4b2
=3，∴a2+4b2=9，
∴
a2+ 4b2
9
=1，∴
1
a2
+
1
b2
=
a2+ 4b2
9a2
+
a2+ 4b2
9b2
=
1
9
 +
4
9
+
4b2
9a2
+
a2
9b2
 
≥
5
9
+2
4
81
=1，当且仅当
4b2
9a2
=
a2
9b2
 时，等号成立，
故选  C．
答案解析：由题意可得 两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由
a2+4b2
=3，得到
a2+ 4b2
9
=1，
1
a2
+
1
b2
=
a2+ 4b2
9a2
+
a2+ 4b2
9b2
=
1
9
 +
4
9
+
4b2
9a2
+
a2
9b2
，使用基本不等式求得
1
a2
+
1
b2
的最小值．
考试点：圆与圆的位置关系及其判定；基本不等式在最值问题中的应用．
知识点：本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到 
a2+ 4b2
9
=1，
是解题的关键和难点．

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