两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则1a2+1b2的最小值为(  )A. 19B. 49C. 1D. 3

问题描述:

两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则

1
a2
+
1
b2
的最小值为(  )
A.
1
9

B.
4
9

C. 1
D. 3

由题意可得 两圆相外切,两圆的标准方程分别为 (x+a)2+y2=4,x2+(y-2b)2=1,
圆心分别为(-a,0),(0,2b),半径分别为 2和1,故有

a2+4b2
=3,∴a2+4b2=9,
a2+ 4b2
9
=1,∴
1
a2
+
1
b2
=
a2+ 4b2
9a2
+
a2+ 4b2
9b2
=
1
9
 +
4
9
+
4b2
9a2
+
a2
9b2
 
5
9
+2
4
81
=1,当且仅当
4b2
9a2
=
a2
9b2
 时,等号成立,
故选  C.
答案解析:由题意可得 两圆相外切,根据两圆的标准方程求出圆心和半径,由
a2+4b2
=3,得到
a2+ 4b2
9
=1,
1
a2
+
1
b2
=
a2+ 4b2
9a2
+
a2+ 4b2
9b2
=
1
9
 +
4
9
+
4b2
9a2
+
a2
9b2
,使用基本不等式求得
1
a2
+
1
b2
的最小值.
考试点:圆与圆的位置关系及其判定;基本不等式在最值问题中的应用.
知识点:本题考查两圆的位置关系,两圆相外切的性质,圆的标准方程的特征,基本不等式的应用,得到 
a2+ 4b2
9
=1,
是解题的关键和难点.