若a,b∈R,2a^2+b^2=1,那么a+b的最小值?

问题描述:

若a,b∈R,2a^2+b^2=1,那么a+b的最小值?

设k=a+b,则b=a-k,代入椭圆方程,判别式大于或等于零、

逆向思维。设a+b=t,则我们需要求t最小值,a=t-b,代入前面那个式子,则有3b^2-4tb+2t^2-1=0,对于这个方程,我们将b这个变量作为主元,t,b∈R,因此方程有实根,判别式应该大于等于零,而判别式是一个含有t的式子大于等于零,从而求出了t在-√6/2到√6/2之间,它的最小值应该是-√6/2。

设 a+b = m,则 a = m-b,带入方程得到:
2(m-b)² + b² = 1
整理得:
3b² - 4mb + 2m²-1 = 0
将b看为自变量(x),m为参数,b,m∈R,所以判别式大于等于零
即:(-4m)² - 4*3*(2m²-1) ≥0
=> m² ≤ 3/2
=> -√6/2 ≤ m ≤ √6/2
所以 m的最小值为-√6/2
即 a+b的最小值为-√6/2

令a=sinc/根号2 b=cosc c是参数
a+b=sinc/根号2 +cosc=根号6/2 (sin(c+x))
最小值为= 负根号6/2