如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=6,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,平面PAB⊥平面ABC.(Ⅰ)求证:PA⊥BC;(Ⅱ)求PC的长度;(Ⅲ)求二面角P-AC-B的大小.

问题描述:

如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=

6
,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,平面PAB⊥平面ABC.

(Ⅰ)求证:PA⊥BC;
(Ⅱ)求PC的长度;
(Ⅲ)求二面角P-AC-B的大小.

(Ⅰ)证明:∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,
且BC⊥AB,

∴BC⊥平面PAB.(3分)
∵PA⊂平面PAB,∴PA⊥BC.(4分)
(Ⅱ)∵PA=PB=

6
,PA⊥PB,∴AB=2
3

∵AB⊥BC,∠BAC=30°,∴BC=AB•tan30°=2.(7分)
∵BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB,∴PC=
PB2+BC2
10
.(9分)
(Ⅲ)作PO⊥AB于点O,OM⊥AC于点M,连接PM.∵平面PAB⊥平面ABC,
∴PO⊥平面ABC,根据三垂线定理得PM⊥AC,∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角.(12分)
在Rt△AMO中,OM=AO•sin30°=
AO
2

易知AO=PO,
tanPMO=
PO
OM
AO
OM
=2
,(13分)
即二面角P-AC-B的大小是arctan2(14分)
答案解析:(1)证明由面面垂直的性质BC⊥PA,又AB⊥BC,得到BC⊥平面PAB,进而证明PA⊥BC;
(2)先求AB,再求BC,用勾股定理计算PC的长度;
(3)作PO⊥AB于点O,OM⊥AC于点M,证明,∠PMO是二面角P-AC-B的平面角,在Rt△AMO中,求出 PO 和OM,可求∠PMO的正切值.
考试点:空间中直线与直线之间的位置关系;与二面角有关的立体几何综合题.
知识点:本题考查空间2条直线的位置关系,二面角的平面角的求法.