1+2+3+..N=N(N+1)/2 如何推导

设S=1+2+3+...+n,
则S=n+(n-1)+(n-2)+...+1
前面俩个式子相加，可以得到2*S=（n+1）+(n+1)+...+(n+1)=(n+1)*n
所以S=n(n+1)/2

倒叙相加法
令1+2+3+……+N=X
2X=1+2+3+……+N+N+……+3+2+1=N+1+N+1+N+1……=N(N+1)
所以X=N(N+1)/2

S 1 2 3 . . . . . . N-2 N-1 N
S1 N N-1 N-2 . . . . . . 3 2 1
将上下分别相加
S2 N+1 N+1 N+1 .. . . ... N+1 N+1 N+1
每行共有N个自然数
s2 行自然数和为N(N+1)
即1+2+3+..N=N(N+1)/2

1+2+3+..N=1+N+(2+N-1)+....=N(N+1)/2

1+2+3+…+N=[（1+2+3+…+N）+（N+…+3+2+1）]/2=[（N+1）+…+（N+1)]/2=（N+1)N/2

设S=1+2+…+N
则S=N+…2+1
两式相加得：2S=（1+N）N
得：S=（1+N）N/2

设S=1+2+3+……+N； 这里一共有N个数
将上式倒写：
S=N+(N-1)+(N-2)+……+1； 这里一共有N个数
将上述两式对应相加：
2S=(1+N)+(2+N-1)+(3+N-2)+……+(N+1) 这里一共有N个括号
=(1+N)+(1+N)+(1+N)+……+(1+N) 这里一共有N个括号
=N*(1+N)
所以S=N*(1+N)/2.

S=1+2+3……+N
S=N+（N-1）+……+3+2+1
上面两式相加
2S=（N+1）XN
S=（N+1）XN/2
就和由1加到100一样

最简单的方法,先把1排到n,然后再从n排到1，如下
1 2 3......................n
n n-1 n-2,..................1
然后上下相加
1+n=n+1
2+(n-1)=n+1
3+(n-2)=n+1
.............
.............
n+1=n+1
一共有n个n+1
所以两个数列的和为n(n+1)
但是你只需要一个数列的和，上面求的是2个数列的和，所以n(n+1)/2就是一个数列的和

用归纳法：
1、当N=1，左边=右边=1，显然成立
2、假设当N=K时成立，即1+2+3+..K=K(K+1)/2 ，那么当N=K+1时，则有1+2+3+..K+K+1=K(K+1)/2+K+1=(K+1)(K+2)/2，也成立
3、因此，当N为任何正整数时，均有1+2+3+..N=N(N+1)/2