设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（a≥0）．（1）如果a=1，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）在区间（-1，e-1）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m．
问题描述：
设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（a≥0）．
（1）如果a=1，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）在区间（-1，e-1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m．
答
（1） 函数f（x）的定义域为（-1，+∞）（1分）f′（x）=1-aln（x+1）-a（2分）当a=1时，f′（x）=-ln（x+1）所以f（x）的单调递减区间为（-1，+∞）．（4分）（2） ①当a=0时，f′（x）=1＞0∴f（x）在（-1，+∞）...
答案解析：（1）确定函数的定义域，求导函数，从而确定f（x）的单调递减区间；
（2）先确定函数的单调递增区间，再根据f（x）在区间（-1，e-1）上单调递增，建立不等式，从而可求实数a的取值范围；
（3）根据要证明的结论，利用分析法来证明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质．
考试点：不等式的证明；对数函数的单调区间；对数函数图象与性质的综合应用．
知识点：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查化归思想，考查构造函数，是一个综合题，解题时确定函数的单调性是关键．