已知函数f(x)=1/3x3-ax2+bx．（a，b∈R） （ I）若f'（0）=f'（2）=1，求函数f（x）的解析式； （ II）若b=a+2，且f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围．
问题描述：
已知函数f(x)=
x3-ax2+bx．（a，b∈R）1 3
（ I）若f'（0）=f'（2）=1，求函数f（x）的解析式；
（ II）若b=a+2，且f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围．
答
（Ⅰ）因为f'（x）=x2-2ax+b，
由f'（0）=f'（2）=1即
得
b=1 4-4a+b=1
，
a=1 b=1
所以f（x）的解析式为f(x)=
x3-x2+x．1 3
（Ⅱ）若b=a+2，则f'（x）=x2-2ax+a+2，△=4a2-4（a+2），
（1）当△≤0，即-1≤a≤2时，f'（x）≥0恒成立，那么f（x）在R上单调递增，
所以，当-1≤a≤2时，f（x）在区间（0，1）上单调递增；
（2）当△＞0，即a＞2或a＜-1时，
因为f'（x）=x2-2ax+a+2的对称轴方程为x=a
要使函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，
需
或
a＜-1 f′(0)≥0
a＞2 f′(1)≥0
解得-2≤a＜-1或2＜a≤3．
综上：当a∈[-2，3]时，函数f（x）在区间（0，1）上单调递增．