二次函数f(x)满足f(1-x)=f（1+x),f(0）=3,且图像在x轴上截得的线段长为4,1.求f(x)的解析式,2.设函数g(x)=f（x)-2(1-m)x,若g(x)在区间【-2,2】上是单调函数,求实数m的取值范围,求函数g(x)在x∈【0,2】的最大值

1、由 f(1-x)=f(1+x) 可知，抛物线对称轴为 x= 1 ，
而抛物线在 x 轴上截得的线段长为 4 ，因此抛物线与 x 轴的交点为（-1，0）、（3，0），
设 f(x)=a(x+1)(x-3) ，则 f(0)=3 得 3=a*1*(-3) ，所以 a= -1 ，
因此 f(x)= -(x+1)(x-3)= -x^2+2x+3 。
2、g(x)=f(x)-2(1-m)x= -x^2+mx+3 ，对称轴 x= m/2 ，
由于 g(x) 在 [-2，2] 上是单调函数，
因此 m/2=2 ，
解得 m=4 。
当 m当 m>=4 时，g(x) 在 [0，2] 上为增函数，最大值为 g(2)=2m-1 。

设f(x)=ax^2+bx+c
由f(1-x)=f(1+x)，令x=1,则f(0)=f(2)=3
由图像在x轴上截得的线段长为4，列1+x-(1-x)=4 得x=2 则f(-1)=f(3)=0
代入得f(x)=-x^2+2x+3

1、由 f(1-x)=f(1+x) 可知,抛物线对称轴为 x= 1 ,
而抛物线在 x 轴上截得的线段长为 4 ,因此抛物线与 x 轴的交点为（-1,0）、（3,0）,
设 f(x)=a(x+1)(x-3) ,则 f(0)=3 得 3=a*1*(-3) ,所以 a= -1 ,
因此 f(x)= -(x+1)(x-3)= -x^2+2x+3 .
2、g(x)=f(x)-2(1-m)x= -x^2+2mx+3= -(x-m)^2+m^2+3 ,对称轴 x= m ,
由于 g(x) 在 [-2,2] 上是单调函数,
因此 m=2 ,
当 m= 2 时,g(x) 在 [0,2] 上为增函数,最大值为 g(2)=4m-1 .

(1)由题意知函数关于x=1对称。
又因为图像在X轴上截得的线段长为4，可以确定两个交点的X值为 -1 3。
因此可设f(x)=a(x+1)(x-3), 由f(0)=3,求得a=-1, f(x)= - (x+1)(x-3).
(2)将f(x)带入g(x)中，整理的g(x)= -(x-m)^2+3+m^2, 可以看出其函数图像的对称轴为x=m.为了是函数在[-2,2]上单调，需满足m=2
1>当m 2>当m>=2时，函数在所求区间内单调递增，因此最大值在x=2处取得，g(2)=f(2)-2(1-m)=4m-1.