已知函数y=f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点,且y最小=-4,那么p=______,q=______.
问题描述:
已知函数y=f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点,且y最小=-4,那么p=______,q=______.
答
设切点(a,0)(a≠0),f(x)=x(x2+px+q)由题意得:方程x2+px+q=0有两个相等实根a故可得f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2xf′(x)=3x2-4ax+a2=(x-a)(3x-a)令f′(x)=0,则x=a或a3∵f(a)=0≠-4,∴f(a3)=−...
答案解析:设切点(a,0)(a≠0),f(x)=x(x2+px+q).由题意得:方程x2+px+q=0有两个相等实根a,故可得f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,再利用y极小值=-4,可求a=-3,从而可求p,q的值.
考试点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.
知识点:本题以函数为载体,考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的极值,考查导数的几何意义,属于中档题.