如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC的长.

问题描述:

如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC的长.

连接DC,如图,

∵∠ADC=∠ABC,
而∠ABC=∠CAD,
∴∠ADC=∠CAD,
∴AC=CD,
又∵AD是直径,
∴∠ACD=90°(直径所对的圆周角是直角),
在Rt△ACD中,
∴AC2+CD2=AD2
即2AC2=36,AC2=18,
AC=3

2
(cm).
故答案为:3
2
cm.
答案解析:连接DC,则∠ADC=∠ABC,而∠ABC=∠CAD,得到∠ADC=∠CAD,得AC=CD,又因为AD是⊙O的直径,得到∠DCA=90°,于是AD=
2
AC,而AD=6cm,通过计算即可得到弦AC的长.
考试点:圆周角定理;勾股定理.
知识点:本题考查了圆周角定理.在同圆或等圆中,同弧和等弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半.同时考查了圆周角的推论:直径所对的圆周角为90度.