如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D. (1)求证:BC是⊙O切线; (2)若BD=5,DC=3,求AC的长.

问题描述:

如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D.

(1)求证:BC是⊙O切线;
(2)若BD=5,DC=3,求AC的长.

(1)证明:连接OD;
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠1=∠3.(1分)
∵OA=OD,
∴∠1=∠2.
∴∠2=∠3.
OD∥AC.(2分)
∴∠ODB=∠ACB=90°.
∴OD⊥BC.
∴BC是⊙O切线.(3分)
(2)过点D作DE⊥AB,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴CD=DE=3.
在Rt△BDE中,∠BED=90°,
由勾股定理得:BE=

BD2−DE2
5232
=4,(4分)
∵∠BED=∠ACB=90°,∠B=∠B,
∴△BDE∽△BAC.(5分)
BE
BC
DE
AC

4
8
3
AC

∴AC=6.(6分)