如图,三棱锥P-ABC中,PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°,求三棱锥P-ABC的体积.
问题描述:
如图,三棱锥P-ABC中,PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°,求三棱锥P-ABC的体积.
答
如图,取AB、AC的中点M、N,连接PM,PN,MN,
则PA=AM=AN=a,由∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°,
得:PM=PN=MN=a,∴三棱锥P-AMN是棱长为a的正四面体,它的体积为,
VP-AMN=
•S△AMN•h=1 3
×1 3
×a2×sin60°×1 2
=
a2 −(
× 2 3
a)2
3
2
a3;
2
12
三棱锥P-ABC的体积为,VP-ABC=
•S△ABC•h=1 3
×4•S△AMN•h=4VP-AMN=1 3
a3.
2
3