关于高数.泰勒级数问题.
问题描述：
关于高数.泰勒级数问题.
书本有句原话：当函数f(x)在含有x0的某个邻域内具有任意阶导数时,必能写出 f(x)生成的泰勒级数,但是这个泰勒级数不一定收敛,即使收敛,也不一定收敛f(x).
只有函数f(x)在含有x0的某个邻域内具有任意阶导数,这个时候就能写出f(x)=泰勒级数,这个等式都写出来,不就说明泰勒级数已经收敛于f(x)了吗?
答
不一定,泰勒级数收敛于原函数还要求泰勒公式中的余项趋于0,有个很有名的例子,f(x)=e^(-1/x^2) x≠0
=0 x=0
它在x=0处的各阶导数都存在,且各阶导数都等于0,故泰勒级数=0,它不收敛到f(x),究其原因,级数余项不趋于0.泰勒级数不就是根据f(x)=ao+a1(x-x0).......推导出来的吗？根据这个推导出来的级数，最后反倒不符合它的初始推导条件？那个推导过程不能保证余项趋于0啊。