点D E F分别是△ABC三边AB BC CA上的中点,求证:向量AB+向量BE=向量AC+向量CE 和向量EA+向量FB+向量DC=0
问题描述:
点D E F分别是△ABC三边AB BC CA上的中点,求证:向量AB+向量BE=向量AC+向量CE 和向量EA+向量FB+向量DC=0
答
证明:
根据题意,得
向量AD=(1/2)(向量AB+向量AC)
向量BE=(1/2)(向量BA+向量BC)
向量CF=(1/2)(向量CB+向量CA)
∴三式相加,得
向量AD+向量BE+向量CF
=(1/2)(向量AB+向量BA+向量AC+向量CA+向量BC+向量CB)
=(1/2)(向量0+向量0+向量0)
=向量0
得证
答
1、连接AE,因为AB+BE=AE,AC+CE=AE,所以相等2、EA=EB+BA=1/2CB+BAFB=FA+AB=1/2CA+ABDC=DA+AC=1/2BA+AC所以EA+FB+DC=1/2CB+BA+1/2CA+AB+1/2BA+AC=1/2(CB+CA+BA)+BA+AB+AC=CA+AC=0