已知函数f(x)=(1/3)x^3-[(a+1)/2]x^2+bx+a ,(a,b属于R) 其导函数f'(x)的图像过原点.1）当a=1时,求函数f(x)的图像在X=3处的切线方程.2）若存在x3）当a>0时,确定函数f(x)d的零点个数.
问题描述：
已知函数f(x)=(1/3)x^3-[(a+1)/2]x^2+bx+a ,(a,b属于R) 其导函数f'(x)的图像过原点.
1）当a=1时,求函数f(x)的图像在X=3处的切线方程.
2）若存在x3）当a>0时,确定函数f(x)d的零点个数.
答
1）因为a=1,b=0 所以f'(x)=X^2-(a+1)X+b=X^2-2X
当X=3时,K=f'(3)=3（用K表示函数f(x)在X=3处的斜率）
因为f(x)=(1/3)x^3-x^2+1 ,所以f(3)=1
所以可 设函数f(x)的图像在X=3处的切线方程为y=3x+B,（关键就是求B了哦）
由题意可知点（3,1）在直线y=3x+B上,所以代入点,可求得B= -8
所以函数f(x)的图像在X=3处的切线方程为y=3x-8
2）f'(x)=x^2-(a+1)x+b
导函数f'(x)的图像过原点,即f'(0)=b=0
f'(x)=-9有负数解
x^2-(a+1)x+9=0
delta=(a+1)^2-36>=0---> a>=5 or a0得两根同号,因此需都为负数 ,即x1+x2=a+1a