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已知关于x的方程x2-2（m-1）x+m2-3=0有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）已知a、b、c分别是△ABC的内角∠A、∠B、∠C的对边，∠C=90°，且tanB=3/4，c-b=4，若方程的两个实数根

分类: 作业答案 • 2022-01-22 10:24:12
问题描述：

已知关于x的方程x2-2（m-1）x+m2-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）已知a、b、c分别是△ABC的内角∠A、∠B、∠C的对边，∠C=90°，且tanB=

3
4
，c-b=4，若方程的两个实数根的平方和等于△ABC的斜边c的平方，求m的值．

答

（1）△=4（m-1）2-4（m2-3）=-8m+16，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即-8m+16＞0，
解得m＜2，
∴实数m的取值范围是m＜2；
（2）在△ABC中，∠C=90°，tanB=

3
4
，
∴
b
a
＝
3
4
，
设b=3k，a=4k，
则c＝
9k2+16k2
=5k，
又∵c-b=4，
∴5k-3k=2k=4，
解得k=2，
∴c=10．
不妨设原方程的两根为x1，x2，
由根与系数的关系得x1+x2=2（m-1），
x1x2=m2-3，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4（m-1）2-2（m2-3）
=2m2-8m+10，
由已知有：x12+x22=102，
∴2m2-8m+10=102=100，
解这个方程得m1=-5，m2=9，
又∵方程有两个不相等实数根，
必须满足m＜2，
∴m=-5．

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