已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,(a,b,c∈R)满足：对任意实数x,都有f(x)≥x,且当x∈(1,3)时,有f(x）≤(1/8)(x+2)^2成立1.证明f(2)=22.若f(-2)=0,f(x)的表达式
问题描述：
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,(a,b,c∈R)满足：对任意实数x,都有f(x)≥x,且当x∈(1,3)时,有f(x）≤(1/8)(x+2)^2成立
1.证明f(2)=2
2.若f(-2)=0,f(x)的表达式
答
1、证明：由f(x)≥x可知,f(2)≥2
又2∈(1,3),f(x）≤(1/8)(x+2)^2,即f（2）≤（2+2）^2/8=2
所以f（2）=2
2、4a+2b+c=2
4a-2b+c=0
所以b=1/2,即
4a+c=1,4a=1-c
又f(x)≥x,即
ax^2+(b-1)x+c≥0 恒成立,即
a>0
（b-1)^2-4ac≤0,即
16ac≥1,即
4（1-c）c≥1,即
（2c-1)^2≤0
c=1/2,a=(1-c)/4=1/8
所以f（x）=x^2/8+x/2+1/2