当n为自然数是,代数式(n^2-n+1)(n^2-n+3)+1是一个完全平方式,请说明理由.

(n^2-n+1)(n^2-n+3)+1=(n^2-n)^2+4（n^2-n）+3+1
=(n^2-n)^2+4（n^2-n）+4
=(n^2-n+2)^2
（把n^2-n看成一个整体）

原式可写为(n^2-n+2-1)(n^2-n+2+1)+1=(n^2-n+2)的平方加1减1，就等于(n^2-n+2)的平方
其实对于这一类题你只要将其因式分解，然后再合并最后必然会得到你想要的结果

把n^2-n+1看成整体，用x表示，即x=n^2-n+1,则原式=x*(x+2)+1,拆开得x^2+2*x+1=(x+1)^2,就是
（n^2-n+1+1）^2=(n^2-n+2)^2是完全平方式

(n^2-n+1)(n^2-n+3)+1=(n^2-n)^2+4(n^2-n)+3+1=(n^2-n)^2+4(n^2-n)+4=(n^2-n+2)^2
得证！

(n^2-n+1)(n^2-n+3)+1
=(n^2-n+1)(n^2-n+1+2)+1
=(n^2-n+1)^2+2(n^2-n+1)+1
=(n^2-n+2)^2

(n^2-n+1)(n^2-n+3)+1
=(n^2-n+1)(n^2-n+1+2)+1
=(n^2-n+1)^2+3(n^2-n+1)+1
=(n^2-n+1+1)^2
=(n^2-n+2)^2