已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0.(Ⅰ)求m与n的关系表达式;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线

问题描述:

已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0.
(Ⅰ)求m与n的关系表达式;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.

(Ⅰ)f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n.因为x=1是f(x)的一个极值点,所以f'(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0.所以n=3m+6.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+2m)]当m<0时,有1>1+2m,当x变...