已知f（x）=2x-1/2x2，g（x）=logax（a＞0且a≠1），h（x）=f（x）-g（x）在定义域上为减函数，且其导函数h′（x）存在零点． （I）求实数a的值； （II）函数y=p（x）的图象与函数y=g（x）的图象
问题描述：
已知f（x）=2x-
x2，g（x）=logax（a＞0且a≠1），h（x）=f（x）-g（x）在定义域上为减函数，且其导函数h′（x）存在零点．1 2
（I）求实数a的值；
（II）函数y=p（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，且y=p′（x）为函数y=p（x）的导函数，A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2）是函数y=p（x）图象上两点，若p′（x0）=
，判断P（x0），，P（x1），P（x2）的大小，并证明你的结论．
y1−y2
x1−x2
答
（I）f′(x)＝2−x，g′(x)＝
1 xlna
∵h（x）=f（x）-g（x）在定义域上为减函数
∴h′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立即
≥−x2+2x在（0，+∞）上恒成立1 lna
即
≥ ( −x2+2x)maxx∈（0，+∞）1 lna
令u（x）=-x2+2x=-（x-1）2+1≤1
∴
≥11 lna
∵h′（x）存在零点
∴x2−2x+
＝0在(0，+∞)上有根1 lna
∴△＝4(1−
)≥01 lna
∴
≤11 lna
∴lna=1即a=e
（II）∵g（x）=lnx，p（x）=ex
令F（x）=ex(x−x2)−ex+ex2(x＜x2)
F′（x）=ex+exx-x2ex-ex=（x-x2）ex＜0
∴F（x）在（-∞，x2）上递减
∴ex1(x1−x2)＞ex1−ex2
即ex1＜
ex1−ex2
x1−x2
同理
＜ex2
ex1−ex2
x1−x2
所以有P（x1）＜P（x0）＜P（x2）