求证：lnx+lny
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求证：lnx+lny
数学人气：470 ℃时间：2020-06-26 22:08:22
优质解答
这个题可以这样
1.先设x或y其中一个为常数,在这里我们设y为常数,令y=m,(m>1),因此题目中的式子可以写为：2(lnx+lnm)1,则当x—>1时左边的式子趋近于2lnm,右边式子趋近于2m-2,当m趋近于1时,2lnm与2m-2都趋近于0,容易证明当m大于1的时候,2lnm2.现在我们看看左右两边式子的斜率：左边 斜率为2/x,该斜率最大,趋近2,且随x的增加递减；右边 斜率为1+m,该斜率最小趋近2,因此我们可以认为右边的斜率大于等于左边的斜率,其中等于是在x与m都取1的时候才成立,而x与m都大于1,所以说右边的斜率大于左边的斜率,且两个斜率都是正的.
综合1与2可得,左边式子的最小值大于右边式子的最小值,且左边式子增长的速度比右边式子增长的速度快,所以不等式恒成立!
1.先设x或y其中一个为常数,在这里我们设y为常数,令y=m,(m>1),因此题目中的式子可以写为：2(lnx+lnm)1,则当x—>1时左边的式子趋近于2lnm,右边式子趋近于2m-2,当m趋近于1时,2lnm与2m-2都趋近于0,容易证明当m大于1的时候,2lnm2.现在我们看看左右两边式子的斜率：左边 斜率为2/x,该斜率最大,趋近2,且随x的增加递减；右边 斜率为1+m,该斜率最小趋近2,因此我们可以认为右边的斜率大于等于左边的斜率,其中等于是在x与m都取1的时候才成立,而x与m都大于1,所以说右边的斜率大于左边的斜率,且两个斜率都是正的.
综合1与2可得,左边式子的最小值大于右边式子的最小值,且左边式子增长的速度比右边式子增长的速度快,所以不等式恒成立!
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这个题可以这样
1.先设x或y其中一个为常数,在这里我们设y为常数,令y=m,(m>1),因此题目中的式子可以写为：2(lnx+lnm)1,则当x—>1时左边的式子趋近于2lnm,右边式子趋近于2m-2,当m趋近于1时,2lnm与2m-2都趋近于0,容易证明当m大于1的时候,2lnm2.现在我们看看左右两边式子的斜率：左边 斜率为2/x,该斜率最大,趋近2,且随x的增加递减；右边 斜率为1+m,该斜率最小趋近2,因此我们可以认为右边的斜率大于等于左边的斜率,其中等于是在x与m都取1的时候才成立,而x与m都大于1,所以说右边的斜率大于左边的斜率,且两个斜率都是正的.
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