在空间四边行ABCD中,BC=AC,AD=BD,作BE垂直CD于E,作AH垂直BE于H,求证：AH垂直于平面BCD
问题描述：
在空间四边行ABCD中,BC=AC,AD=BD,作BE垂直CD于E,作AH垂直BE于H,求证：AH垂直于平面BCD
答
证明：
取AB中点F，连接DF、CF
∵AC=BC,AD=BD
∴DF⊥AB，CF⊥AB，又∵DF、CF∈平面FCD，DF∩CF=F
∴AB⊥平面FCD
∵CD∈平面FCD
∴AB⊥CD
又∵BE⊥CD，且BE∈平面ABH，BE∩AB=B
∴CD⊥平面ABH，∵AH∈平面ABH
∴CD⊥AH，由已知条件，AH⊥BE
BE，CD∈平面BCD，且BE∩CD=E
∴AH⊥平面BCD
答
提示：取AB中点M,由BC=AC,AD=BD得
CM⊥AB,DM⊥AB,所以AB⊥平面CDM,
所以AB⊥CD,又BE⊥CD,
所以CD⊥平面ABE,
所以平面BCD⊥平面ABE,
因为AH垂直于交线BE,所以AH⊥平面BCD.