在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=x2+bx+c与X轴交于A,B两点(点A在点B的左侧,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B,C两点.

问题描述:

在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=x2+bx+c与X轴交于A,B两点(点A在点B的左侧,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B,C两点.
1.求直线BC及抛物线解析式;
2.设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标;

(1)∵点C(2,3)在直线y=kx+1上,
∴2k+1=3.
解得k=1.
∴直线AC的解析式为y=x+1.
∵点A在x轴上,
∴A(-1,0).
∵抛物线y=-x²+bx+c过点A、C,
∴ {-1-b+c=0,-4+2b+c=3
解得 {b=2,c=3
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3.
(2)由y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4,
可得抛物线的对称轴为x=1,B(3,0).
∴E(1,2).
根据题意,知点A旋转到点B处,直线l过点B、E.
设直线l的解析式为y=mx+n.
将B、E的坐标代入y=mx+n中,
联立可得m=-1,n=3.
∴直线l的解析式为y=-x+3.
∴P(0,3).
过点E作ED⊥x轴于点D.
∴S△PAE=S△PAB-S△EAB= 1/2AB•PO- 1/2AB•ED= 1/2×4×(3-2)=2.
(3)存在,点F的坐标分别为(3-√ 2,0),(3+ √2,0),(-1- √6,0)(-1+ √6,0).