证明当x
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证明当x
数学人气：228 ℃时间：2020-02-05 19:15:55
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x=0,x=sinx=x-x^3/6
x≤0,观察函数f（x）=x-sinx,g（x）=sinx-x+x^3/6增减性
f'(x)=1-cosx≥0,f（x）在（-∞,0]上单调递增,最大值f（0）=0
故x＜0,x＜sinx
g'(x)=cosx-1+x²/2,g''(x)=-sinx+2x,g'''(x)=2-cosx
g'''(x)=2-cosx＞0恒成立,g''(x)在（-∞,0]上单调递增,最大值g''(0)=0
故g''(x)≤0在（-∞,0]上恒成立,g'(x)=cosx-1+x²/2在（-∞,0]上单调递减,最小值g'(0)=0
g'(x)≥0在（-∞,0]上恒成立,g(x)在（-∞,0]上单调递增,最大值g(0)=0
故x＜0,sinx＜x-x³/6
结论得证
这个关键是第二个”＜“号的证明,涉及三次导数
x≤0,观察函数f（x）=x-sinx,g（x）=sinx-x+x^3/6增减性
f'(x)=1-cosx≥0,f（x）在（-∞,0]上单调递增,最大值f（0）=0
故x＜0,x＜sinx
g'(x)=cosx-1+x²/2,g''(x)=-sinx+2x,g'''(x)=2-cosx
g'''(x)=2-cosx＞0恒成立,g''(x)在（-∞,0]上单调递增,最大值g''(0)=0
故g''(x)≤0在（-∞,0]上恒成立,g'(x)=cosx-1+x²/2在（-∞,0]上单调递减,最小值g'(0)=0
g'(x)≥0在（-∞,0]上恒成立,g(x)在（-∞,0]上单调递增,最大值g(0)=0
故x＜0,sinx＜x-x³/6
结论得证
这个关键是第二个”＜“号的证明,涉及三次导数
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答
x=0,x=sinx=x-x^3/6
x≤0,观察函数f（x）=x-sinx,g（x）=sinx-x+x^3/6增减性
f'(x)=1-cosx≥0,f（x）在（-∞,0]上单调递增,最大值f（0）=0
故x＜0,x＜sinx
g'(x)=cosx-1+x²/2,g''(x)=-sinx+2x,g'''(x)=2-cosx
g'''(x)=2-cosx＞0恒成立,g''(x)在（-∞,0]上单调递增,最大值g''(0)=0
故g''(x)≤0在（-∞,0]上恒成立,g'(x)=cosx-1+x²/2在（-∞,0]上单调递减,最小值g'(0)=0
g'(x)≥0在（-∞,0]上恒成立,g(x)在（-∞,0]上单调递增,最大值g(0)=0
故x＜0,sinx＜x-x³/6
结论得证
这个关键是第二个”＜“号的证明,涉及三次导数