曲面梯形绕y轴旋转所成图形体积公式

2．旋转体的体积
(1)旋转体的体积这部分包括旋转体的定义、旋转体的体积公式的推导、旋转体体积的计算．我们以旋转体体积的计算为重点．
(2)关于旋转体的定义,要明确旋转体的形成有两个要素：一是被旋转的平面图形,二是旋转轴．柱、锥、球等旋转体中被旋转的平面图形都是直线或圆弧,而在这里则是一般的曲线．所以通过本部分内容的学习,可使旋转体的体积在理论上解决得更彻底,同时使我们认识到学习定积分知识的必要性．
(3)关于旋转体体积公式的推导,其实在第二册(下)关于球体积公式的推导过程中已经渗透了定积分的思想方法．旋转体体积公式的推导和曲边梯形面积公式的推导类似,其步骤也是分割、近似代替、作和、求极限；遵循“有限→无限→有限、连续→离散→连续、精确→近似→精确”的原则,化曲为直,化整为零,变未知为已知．
(4)关于旋转体体积的计算．例4是求直线 ,x=0,y=0围成的△OSA绕x轴旋转所成的圆锥的体积．当然,本例可以直接运用圆锥体积公式 来求,之所以在此安排这个例题,主要目的是让我们明白用定积分求旋转体的体积是一种普遍适用的方法．事实上,对平面图形的面积、旋转体的体积等的计算,是在引入定积分这个工具后才彻底解决的．利用定积分计算旋转体体积的具体解题步骤为：根据题意画出草图；找出曲线范围,定出积分上、下限；确定被积函数；写出求体积的定积分表达式；计算定积分,求出体积．
例5由于上半椭圆是关于y轴成轴对称图形,所以课本对曲边梯形AOB绕x轴旋转所成旋转体用体积公式得到体积 ,然后乘以2就得到了所求体积V.也可以对由上半椭圆与x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转所成的旋转体运用体积公式直接得到体积
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椭圆 绕y轴旋转而成的旋转体的体积 .
容易看出,绕x轴旋转一周形成的椭球的体积与绕y轴旋转一周形成的椭球的体积不相等．