您的位置: 首页  >  作业答案  >  数学  >  在△ABC中，若角A，B，C成公差大于零的等差数列，则cos2A+cos2C的最大值为（　　）A. 12B. 32C. 2D. 不存在

在△ABC中，若角A，B，C成公差大于零的等差数列，则cos2A+cos2C的最大值为（　　）A. 12B. 32C. 2D. 不存在

分类: 作业答案 • 2021-12-18 22:40:27
问题描述：

在△ABC中，若角A，B，C成公差大于零的等差数列，则cos2A+cos2C的最大值为（　　）
A.

1
2

B.
3
2

C. 2
D. 不存在

答

在△ABC中，若角A，B，C成公差大于零的等差数列，则B=

π
3
，A＜
π
3
＜C，且A+C=
2π
3
．
再由 cos2A+cos2C=
1+cos2A
2
+
1+cos2C
2
=1+
1
2
cos2A+
1
2
cos（
4π
3
-2A）
=1+
1
2
cos2A+
1
2
（cos
4π
3
cos2A+sin
4π
3
sin2A）
=1+
1
4
cos2A-
 3
4
sin2A=1+
1
2
cos（2A+
π
3
）．
再由A＜
π
3
＜C，可得
π
3
＜2A+
π
3
＜π，由于函数y=1+
1
2
cos（2A+
π
3
）在（
π
3
，π）上是减函数，
故 1+
1
2
cos（2A+
π
6
） 无最大值，
故选D．
答案解析：由题意可得，B=
π
3
，A＜
π
3
＜C，且A+C=
2π
3
．再利用三角恒等变换化简 cos2A+cos2C 为1+
1
2
cos（2A+
π
3
）．再由
π
3
＜2A+
π
3
＜π，函数y=1+
1
2
cos（2A+
π
6
）在（
π
3
，π）上是减函数，可得 1+
1
2
cos（2A+
π
6
） 无最大值．
考试点：两角和与差的余弦函数；等差数列的通项公式；余弦函数的定义域和值域．
知识点：本题主要考查三角函数的恒等变换、余弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．

相关推荐