在三角形ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,求证1/2(1/a+1/b+1/c)
问题描述：
在三角形ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,求证1/2(1/a+1/b+1/c)
答
只说思路：
本题的关键其实就是余弦定理的记忆。
先证右边，由于cosA，cosB，cosC均小于等于1且不能同时取等号，
所以放缩后右边成立；再证左边，cosA/a+cosB/b+cosC/c=（a^2+b^2+c^2）/(2abc),
所以要证左边不等式即是证
a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc，
即证（1/2）*（（a-b）^2+(b-c)^2+(c-a)^2）>=0,成立，当且仅当a=b=c时取到等号。
答
cosA=(b²+c²-a²)/2bc
cosB=(a²+c²-b²)/2ac
cosC=(a²+b²-c²)/2ab
中间=（a²+b²+c²）/2abc
左边=（ab+bc+ac）/2abc
右边=（2ab+2bc+2ac）/2abc
a²+b²+c²-（ab+bc+ac）=[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]/2 ≥0
2（ab+bc+ac）=a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）＞a²+b²+c² .两边之和大于第三边
所以 左边≤中间＜右边