已知各项正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得√（am*an)=4a1,则1/m+4/n的最小值?
问题描述：
已知各项正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得√（am*an)=4a1,则1/m+4/n的最小值?
xiangxi
答
∵{an)等比数列,设公比为q
a7=a6+2a5
∴a1q^6=a1q^5+2a1q^4
∴q^2=q+2
∴q^2-q-2=0
∴q=2或q=-1
∵an>0
∴q=2
√（am*an)=4a1
am*an=16a1²
a1²[q^(m-1)*q^(n-1)]²=16a1²
∴[2^(m+n-2)]²=16
∴m+n-2=2
∴m+n=4 ==>(m/4+n/4)=1
∴1/m+4/n
=(1/m+4/n)(m/4+n/4)
=1/4+1+m/n+n/(4m)
≥5/4+2√(1/4)=9/4
（均值定理当m/n=n/(4m)是取等号 ）
∴1/m+4/n的最小值为9/4a1[q²^(m-1)*q^(n-1)]²中的[q²^(m-1)*q^(n-1)]²不应有平方啊a1²[q^(m-1)*q^(n-1)]=16a1²∴[2^(m+n-2)]=16∴m+n-2=4∴m+n=6 ==>(m/6+n/6)=1∴1/m+4/n=(1/m+4/n)(m/6+n/6)=1/6+2/3+2m/(3n)+n/(6m)≥5/6+2√(1/9)=3/2（均值定理当2m/(3n)=n/(6m)是取等号 ）∴1/m+4/n的最小值为3/2