已知各项正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得√（am*an)=2√2a1,则1/m+4/n的最小值?
问题描述：
已知各项正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得√（am*an)=2√2a1,则1/m+4/n的最小值?
答
设等比数列的公比为q,则由a7=a6+2a5得到
a6*q=a6+2a6/q
由于an>0,所以上式两边除以a6得到q=1+2/q
解得q=2或q=-1
因为各项全为正,所以q=2.
存在两项am,an,使得√（am*an)=2√2a1,所以am*an=8a1^2
即a1q^(m-1)*a1*q^(n-1)=8a1^2
从而2^(m+n-2)=8
所以m+n-2=3,从而m+n=5
因此1/m+4/n=1/5*(m+n)*(1/m+4/n)=1/5*(5+4m/n+n/m)>=1/5*(5+4)=9/5
当且仅当m=5/3,n=10/3时等号成立.