AB=BA A B 都可对角化,证明A+B可对角化
问题描述：
AB=BA A B 都可对角化,证明A+B可对角化
答
设Q^(-1)AQ=D=diag(a1E,a2E,...,akE),其中a1,a2,...,ak是A的不同特征值,对应重数即为l1,l2,...,lk.在AB=BA中左乘Q^(-1),右乘Q得DQ^(-1)BQ=Q^(-1)BQD,对Q^(-1)BQ对应分块,比较可知,此时Q^(-1)BQ=diag(B1,B2,...,Bk),且由于B可对角化,B1,...,Bk也可对角化,因此令
P=diag(P1,...,Pk),其中Pi^(-1)BiPi为对角阵.这时可得(QP)^(-1)A(QP)为对角阵,(QP)^(-1)B(QP)为对角阵,因此(QP)^(-1)(A+B)(QP)是对角阵.