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设M是△ABC内一点，且AB•AC=23，∠BAC=30°，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（P）=（12，x，y）则1x+4y的最小值（　　） A.8 B.9 C.16 D.18

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:01:21
问题描述：

设M是△ABC内一点，且

AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（P）=（
1
2
，x，y）则
1
x
+
4
y
的最小值（　　）
A. 8
B. 9
C. 16
D. 18

答

∵

AB
•
AC
＝2
3
，∠BAC=30°，∴cbcos30°=2
3
，化为bc=4．
∴S△ABC＝
1
2
bcsin30°=1．
∴f（P）=
1
2
+x+y＝1，得x+y＝
1
2
．（x＞0，y＞0）．
∴
1
x
+
4
y
＝2(x+y)(
1
x
+
4
y
)=2(5+
y
x
+
4x
y
)≥2(5+2
y
x
•
4x
y
)=18．当且仅当y＝2x＝
1
3
时取等号．
∴
1
x
+
4
y
的最小值为18．
故选D．

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