2.已知a,b,c为正整数,抛物线y=ax^2+bx+c与x轴有两个不同的交点,且它们到原点的距离都小于一,求a+b+c的最小值.
问题描述：
2.已知a,b,c为正整数,抛物线y=ax^2+bx+c与x轴有两个不同的交点,且它们到原点的距离都小于一,求a+b+c的最小值.
答
据题意得，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在（-1，0）中，
故当x=-1时，y＞0，则a-b+c＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根
ca
=x1x2＜1，且b2-4ac＞0①，
可见a-b+c≥1②，且a＞c③，
所以a+c≥b+1＞2
ac +1，( a-c ）2＞1，③得，
a
大于 c
+1，故a＞4，又因为b＞2
ac
≥2
5×1
＞4，分别取a、b、c的最小整数5、5、1．
经检验，符合题意，
所以a+b+c=11最小．
故答案为：11．
答
据题意得，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在（-1，0）中，
故当x=-1时，y＞0，则a-b+c＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根ca=x1x2＜1，且b2-4ac＞0①，
可见a-b+c≥1②，且a＞c③，
所以a+c≥b+1＞2ac+1，可得（a-c）2＞1，
③得，a＞c+1，故a＞4，
又因为b＞2ac≥25×1＞4，分别取a、b、c的最小整数5、5、1．
经检验，符合题意，
所以a+b+c=11最小．
故答案为：11．