已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2（m-n）2 （1）求a3，a5； （2）设bn=a2n+1-a2n-1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列； （3）设cn=（an
已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2（m-n）2
（1）求a3，a5；
（2）设bn=a2n+1-a2n-1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；
（3）设cn=（an+1-an）qn-1（q≠0，n∈N*），求数列{cn}的前n项和Sn．
（1）由题意，令m=2，n=1，可得a3=2a2-a1+2=6
再令m=3，n=1，可得a5=2a3-a1+8=20
（2）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可得
a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8
于是[a2（n+1）+1-a2（n+1）-1]-（a2n+1-a2n-1）=8
即bn+1-bn=8
所以{bn}是公差为8的等差数列
（3）由（1）（2）解答可知{bn}是首项为b1=a3-a1=6，公差为8的等差数列
则bn=8n-2，即a2n+1-a2n-1=8n-2
另由已知（令m=1）可得
an=
-（n-1）2．
a2n−1+a1
2
那么an+1-an=
-2n+1=
a2n+1−a2n−1
2
-2n+1=2n8n−2 2
于是cn=2nqn-1．
当q=1时，Sn=2+4+6++2n=n（n+1）
当q≠1时，Sn=2•q0+4•q1+6•q2+…+2n•qn-1．
两边同乘以q，可得
qSn=2•q1+4•q2+6•q3+…+2n•qn．
上述两式相减得
（1-q）Sn=2（1+q+q2+…+qn-1）-2nqn
=2•
-2nqn1−qn
1−q
=2•
1−(n+1)qn+nqn+1
1−q
所以Sn=2•
nqn+1−(n+1)qn+1 (q−1)2
综上所述，Sn=
．
n(n+1) (q＝1) 2•
(q≠1)nqn+1−(n+1)qn+1 (q−1)2