P,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知向量PF与向量FQ共线,向量MF与向量FN
问题描述：
P,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知向量PF与向量FQ共线,向量MF与向量FN
P,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知向量PF与向量FQ共线，向量MF与向量FN共线，且向量PF与向量MF的数量积为0，求四边形PMQN的面积的最大值和最小值。
答
向量PF与向量PQ共线,向量PF*向量MF=0
则P、Q、F在同一直线上,PF⊥MF
设过F的直线方程PQ为x=ky-k则MN为x=-y/k+y/kP(x1,y1) Q(x2,y2) M(x3,y3) N(x4,y4)
联立PQ和椭圆方程得(2k^2+1)y^2-4k^2y+2k^2-2=0 则 y1+y2=-b/a=4k^2/(2k^2+1)
联立MN和椭圆方程得(k^2+2)y^2-4y+2-2k^2=0则y3+y4=-b/a=4/(k^2+2)
椭圆上的点到上焦点的距离=(c/a)d=√2/2, 其中d为该点到上准线的距离即y=a^2/c=2
PQ=(√2/2)*(2-y1+2-y2)=2√2(k^2+1)/(2k^2+1)
MN=(√2/2)*(2-y3+2-y4)=2√2(k^2+1)/(k^2+2)
S=PQ*MN/2=4(k^2+1)^2/[(2k^2+1)(k^2+2)]=4/9[(2k^2+1)/(k^2+2)+(k^2+2)/(2k^2+1)+2]
≥4/9(2+2)=16/9当且仅当2k^2+1=k^2+2即k^2=1时取等号
【利用了3(k^2+1)=(2k^2+1)+(k^2+2)】
S最小值为16/9
当PQ、MN分别为椭圆的长轴和短轴时,面积最大S=2a*2b/2=2√2