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已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3． （Ⅰ）求函数f（x）的最小值； （Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:03:39
问题描述：

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1
ex
−
2
ex
成立．

答

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．
令f'（x）＞0，解得x＞

1
e
；
令f'（x）＜0，解得0＜x＜
1
e
．
从而f（x）在（0，
1
e
）单调递减，在（
1
e
，+∞）单调递增．
所以，当x=
1
e
时，f（x）取得最小值-
1
e
．
（II）若2f（x）≥g（x），则a≤2lnx+x+
3
x
，
设h（x）=2lnx+x+
3
x
，
则h′（x）=
2
x
+1-
3
x2
=
x2+2x−3
x2
=
(x+3)(x−1)
x2

∵x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）min=h（1）=4
故a≤4
即实数a的取值范围为（-∞，4]
证明：（III）若lnx＞
1
ex
−
2
ex

则lnx•x＞
x
ex
−
2
e
，
由（I）得：lnx•x≥−
1
e
，当且仅当x=
1
e
时，取最小值；
设m（x）=
x
ex
−
2
e
，则m′（x）=
1−x
ex
，
∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，h（x）单调递增，
x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，h（x）单调递减，
故当x=1时，h（x）取最大值−
1
e

故对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞
1
ex
−
2
ex
成立．

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