对圆均匀分布在区间[a,b]上,求圆的面积的数学期望的直径做近似测量其直径
问题描述：
对圆均匀分布在区间[a,b]上,求圆的面积的数学期望的直径做近似测量其直径
答
这道题也不是很清楚
是圆心分布在[a,b]上还是圆本身?
想象不出圆本身怎样均匀分布.
但是如果是圆心坐标的话,那么比如说以[a,b]上的随机一点为圆心,其半径的大小分布呢?按照题意,是说这个半径不能超过[a,b]的范围么?假设确实是这样理解,圆面积的期望有希望能算出来,但是后面近似测量直径是什么意思呢?先算期望,然后算出用期望的那个面积对应的直径?
按照上面的理解,试做了一下,基本思路还算比较清晰
(a,0)(b,0)
圆心为(x,0)
假设圆的半径也是均匀分布,而且不能超出(a,b)的范围,那么有
当a无语了，这个实际上简单了好多啊。。。只需要知道直径的概率分布f(x)=1/(b-a)然后E(x^2)=∫x^2f(x)dx=1/(b-a)*x^3/3=(b^3-a^3)/3(b-a)=(1/3)*(b^2+ab+a^2)-----从a积到b最后乘以π/4即可，圆面积期望为π(b^2+ab+a^2)/12