已知f(x)=ax-lnx(x∈(0,e]),其中e是自然常数,a∈R(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

问题描述:

已知f(x)=ax-lnx(x∈(0,e]),其中e是自然常数,a∈R
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

(I)当a=1时,f(x)=x-lnx,
f/(x)=1−

1
x
x−1
x
(1分)
f/(x)=1−
1
x
x−1
x
≥0
且x∈(0,e]得x∈[1,e)单调递增;(3分)
f/(x)=1−
1
x
x−1
x
<0
且x∈(0,e]得x∈(0,1)单调递减;(5分)
当x=1时取到极小值1;(6分)
(II) f/(x)=
ax−1
x
(7分)
①当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在x∈(0,e)上单调递减f(e)<0,与题意不符;(9分)
②当a>0时,f′(x)=0的根为
1
a

0<
1
a
<e
时,f(x)在x∈(0,
1
a
)上单调递减,在(
1
a
,e)上单调递增
f(x)min=f(
1
a
)=1−ln
1
a
=3
,解得a=e2(12分)
③当
1
a
≥e
时,f′(x)<0,f(x)在x∈(0,e)上单调递减f(e)<0,与题意不符;(14分)
综上所述a=e2(15分)
答案解析:(I)把a=1代入原函数,求出其导函数,即可求f(x)的单调性、极值;
(II)先求出其导函数,通过分类讨论分别求出导数为0的根,以及单调性和极值,再与f(x)的最小值是3相结合,即可得出结论.
考试点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
知识点:本题主要考查导数的应用.导数一般应用在求切线的斜率极其方程,求函数的单调区间以及极值,和求在某个区间上的最值问题上.导数的应用是高考考查的重点,须重视.