已知a>0,f(x)=x+alnx,若对区间（1/2,1）内的任意两个相异的实数x1,x2,恒有|f(x1)-f(x2)|>|1/x1-1/x2|问a的取值范围
问题描述：
已知a>0,f(x)=x+alnx,若对区间（1/2,1）内的任意两个相异的实数x1,x2,恒有|f(x1)-f(x2)|>|1/x1-1/x2|
问a的取值范围
答
证明：|f（x1）-f(x2)|>|1/x1-1/x2|=|(x1-x2)/x1x2|
∵x1,x2∈（1/2,1）
所以等价于 |(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)|>1/(x1x2)
又a>0,∴f'（x）>0.f(x)单增.
因为x1≠x2,不妨令x1>x2.
则等价于(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)>1/(x1x2)
因为x1,x2的任意性,故(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)>=4
由拉格朗日定理,等价于f'(x)>=4
又f'(x)=1+a/x>=4
a>=3x
∴a>=3