解微分方程：y'+x sin2y=x[e^(-x^2)][(cos y)^2],想要详细的步骤,谢谢~
问题描述：
解微分方程：y'+x sin2y=x[e^(-x^2)][(cos y)^2],想要详细的步骤,谢谢~
答
y'+xsin2y=x[e^(-x²)]cos²y
y'/cos²y+2xsinycosy/cos²y=x[e^(-x²)]
(tany)'+2xtany=x[e^(-x²)]
设tany=u
u'+2xu=x[e^(-x²)]
该方程对应的齐次方程为u'+2xu=0
du/dx=-2xu
du/u=-2xdx
lnu=-x²+C1
u=Ce^(-x²)
设非齐次方程的解为u=C(x)e^(-x²)
那么C'(x)e^(-x²)-2xe^(-x²)C(x)+2xC(x)e^(-x²)=x[e^(-x²)]
C'(x)=x
C(x)=x²/2+C
所以u=(x²/2+C)e^(-x²)
即tany=(x²/2+C)e^(-x²)