正△ABC的边长为1,点P在AB上,PQ⊥BC,QR⊥AC,RS⊥AB.其中P、Q、R、S为垂足,若SP=1/5,则AP的长是_.
问题描述:
正△ABC的边长为1,点P在AB上,PQ⊥BC,QR⊥AC,RS⊥AB.其中P、Q、R、S为垂足,若SP=
,则AP的长是______. 1 5
答
如图1,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠A=∠C=60°,
设AS=x,
在Rt△ASR中,
∵RS⊥AB,
∴∠ASR=90°,
∴∠ARS=30°,
∴AR=2AS=2x,
∴RC=1-AR=1-2x,
在Rt△QCR中,
∵QC=2RC=2-4x,
∴BQ=4x-1,
在Rt△BPQ中,BP=2BQ=8x-2,
∵AB=1,
∴AS+PS+BP=1,即x+
+8x-2=1,解得x=1 5
,14 45
∴AP=AS+PS=
+14 45
=1 5
;23 45
如图2,当点P在点S的上方时,
同上可得,AS+BP-PS=1,即x+8x-2-
=1,解得x=1 5
,16 45
∴AP=AS-PS=
-16 45
=1 5
.7 45
故答案为:
或7 45
.23 45