正△ABC的边长为1,点P在AB上,PQ⊥BC,QR⊥AC,RS⊥AB.其中P、Q、R、S为垂足,若SP=1/5,则AP的长是_.

问题描述:

正△ABC的边长为1,点P在AB上,PQ⊥BC,QR⊥AC,RS⊥AB.其中P、Q、R、S为垂足,若SP=

1
5
,则AP的长是______.

如图1,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠A=∠C=60°,
设AS=x,
在Rt△ASR中,
∵RS⊥AB,
∴∠ASR=90°,
∴∠ARS=30°,
∴AR=2AS=2x,
∴RC=1-AR=1-2x,
在Rt△QCR中,
∵QC=2RC=2-4x,
∴BQ=4x-1,
在Rt△BPQ中,BP=2BQ=8x-2,
∵AB=1,
∴AS+PS+BP=1,即x+

1
5
+8x-2=1,解得x=
14
45

∴AP=AS+PS=
14
45
+
1
5
=
23
45

如图2,当点P在点S的上方时,
同上可得,AS+BP-PS=1,即x+8x-2-
1
5
=1,解得x=
16
45

∴AP=AS-PS=
16
45
-
1
5
=
7
45

故答案为:
7
45
23
45